A la découverte des (Hyper)complexes,
des fractales ET de la théorie du Chaos
Sont-ils présents dans notre monde ?
Propriétés de base sur les complexes
Qu'est-ce-qu'un nombre complexe ?
Par définition, un nombre complexe z est de la forme :
Ici, a et b sont des nombres réels et i est le nombre tel que :
z écrit sous la forme z = a+b.i s'appelle la forme algébrique de z.
Calcul sur les nombres complexes
J'ai une bonne nouvelle à vous anoncer.
Les règles de calcul sur l'addition, la soustraction, la multiplication et la division restent inchangés dans l'ensemble des complexes C. Il faut juste prendre en compte que i^2 = (-1).
Nomenclature sur z :
a s'appelle la partie réelle de z, notée Re(z).
b s'appelle la partie imaginaire de z (car elle est combinée à i), notée Im(z) .
PS : z pourrait alors se noter :
z = Re(z) +Im(z).i
* Si b = 0 donc Im(z) = 0, on obtient z = a + 0.i, donc z = a : z est un nombre réel.
Avec une partie imaginaire nulle, on retombe sur un nombre réel !
* Si a= 0 donc Re(z) = 0, on obtient z = 0 + b.i, donc z = b.i : z est un imaginaire pur.
ATTENTION
Ne pas confondre les termes "partie imaginaire" et "imaginaire pur".
En effet, un imaginaire pur n'existe que si z ne possède pas de partie réelle, autrement dit Re(z)=0 :
z = 0 + b*i = 0 + Im(z)*i = Im(z)*i
==> z est un imaginaire pur possédant comme partie imaginaire b.
Nombres complexes égaux
Soient deux nombres complexes z et z' définis par :
Ces deux nombres sont différents si leurs parties réelles a et a' et/ou si leurs parties imaginaires b et b' sont différentes.
Si nous voulons que nos deux nombres z et z' soient égaux, il faut que leurs parties réelles ET leurs parties imaginaires soient égales, donc que a=a' ET que b=b'.
On le note ainsi, sous forme d'un système :
Cependant, on le note souvent comme celà :
Remarque :
Un système noté dans une accolade ouverte sous-entend la dépendance des relations au sein de celui-ci.
Nombre complexe nul
Pour qu'un nombre complexe z = a +b.i soit nul, il faut que sa partie réelle ET sa partie imaginaire soient nulles. On a donc :
Nombre complexe conjugué
Soit z = a + b.i un nombre réel.
On dit que z barre est le conjugué de z si :
Il existe des propriétés sur les nombres complexes conjugués.
Pour les connaître, cliquez ICI.
Sinon, vous pouvez aussi connaître la méthode de résolution d'une équation du second degré avec un delta de valeur négative. Pour cela, cliquez ICI.
