A la découverte des (Hyper)complexes,
des fractales ET de la théorie du Chaos
Sont-ils présents dans notre monde ?
Un problème bien embarrassant
Résoudre des équations du 3e degré grâce à Jérome Cardan
Un mathématicien italien du XVIe siècle appelé Jérome Cardan a formulé une formule pouvant résoudre les équations du type :
Ici, x, p et q sont chacun des nombres réels, on dit qu'ils appartiennent à l'ensemble des réels et on le note ainsi :
Cependant ce type d'équation n'était résolvable en cette époque qu'à certaines conditions;
il faut en effet que :
Lorsque la condition précédente est respectée, alors les solutions sont :
On peut également écrire de cette manière (c'est équivalent) :
Bombelli, le petit futé qui travaille avec l'impossible !
En 1572, le mathématicien italien Bombelli décide d'utiliser la formule de Cardan en s'autorisant à utiliser des nombres considérés comme impossible comme sqrt(-121), sans essayer à en comprendre se sens.
PS : sqrt = "square root" en anglais, qui se traduit par "racine carrée" en français.
Nous allons maintenant vérifier que sqrt(-121) est bien solution de l'équation :
A l'aide de la formule de Cardan, on obtient :
Par la suite, on admettra que :
On aboutit donc à :
A l'aide de l'utilisation de nombre "impossible", Bombelli a réussi à trouver une solution réelle et correcte ! En effet,
Une histoire de notation
Un problème avec la notation sqrt(-1)
En 1774, le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss estime que la notation sqrt(-1) pose un problème car en effet :
Or pour sqrt(-1), on abouti à une contradition car :
D'un côté on obtient 1 et (-1), il y a donc un problème avec cette notation.
Une nouvelle notation apparait
En 1777, le mathématicien suisse Leonhard Euler décide de noter sqrt(-1) de cette manière :
Euler propose que sqrt(-1) est égal à i (comme imaginaire); en l'élevant au carré, on obtient :
Au final, on se retrouve avec des nouveaux nombres appelés <<imaginaires>> qui respectent :
Vers l'ensemble des nombres complexes
Un nouvel ensemble de nombre encore plus grand que les réels est alors apparu. On décide de noter cet ensemble C (pour nombres complexes).
Un nombre complexe se note souvent z et vérifie les conditions :
Ici, a et b sont des nombres réels et i est le nombre tel que :
Votre ensemble de nombre ressemble maintenant à cela :
Pour un peu plus détailler la composition de chaque ensemble, on a :
Cette illustration nous montre bien que l'ensemble des complexes C est l'association de l'ensemble des réels R avec l'ensemble des nombres imaginaires I.
Voici en partie l'histoire de ces fameux nombres complexes.
Intéressons-nous maintenant à leurs propriétés mathématiques. Cliquez ICI.
