Propriétés sur le module et l'argument

On rappelle que le module est synonyme de distance.

Sa formule pour les nombres complexes z et z' est :

Cette valeur est issu d'un triangle rectangle de côtés de longueurs "a" et "b".

  La mesure de son hypoténuse vaut alors de longueur sqrt( a^2 + b^2 ) d'après Pythagore.

Remarques :

 --> le module d'un nombre complexe est un nombre réel positif.
 --> deux nombres complexes distincts peuvent avoir le même module. 
 --> le module d'un nombre réel est égal à sa valeur absolue, c'est pour cela qu'on conserve la                 notation avec les deux barres " | x | ". 

Si un module est nul, alors le nombre complexe est tout simplement le complexe z = 0.

La démonstration est express :

Le module de z, z barre, -z et -z barre est de même valeur.

La démonstration est simple :

  De façon géométrique, c'est d'autant plus visible :

Il y a 2 symétrie axiales et 1 symétrie centrale par rapport au point M(z).

Le produit de z et de son conjugué z barre est égal au module de z au carré.

Démonstration :

Remarque :

On aurait aussi pu l'écrire, d'après ce que nous venons de démontrer en haut : 

Le module de z multiplié par z' est égal au module de z multiplié par le module de z'.

Démonstration :

On sait que :

Donc on a que :

Ainsi, on a que :

En passant par la racine carrée, on obtient :

Le module de la puissance de z est égal à la puissance du module de z.

La démonstration se fait par récurrence :

Le module de l'inverse de z est égal à l'inverse du module de z.

Le démonstration se fait assez stratégiquement :

Remarque :

Vous voyez bien ici que la valeur absolue et les modules sont représentés par un même symbole pour les nombres réels.

Ce n'est pas par hasard : le module d'un nombre réel est égal à sa valeur absolue, c'est pour cela qu'on conserve la notation avec les deux barres " | x | ". 

Ainsi, on a établi que :

Le module de z par rapport à z' est égale au module de z par rapport au module de z'.

Le principe de la démonstration est le même que précédemment :

Le module de z + z' est inférieur ou égal au module de z + le module de z'.

Démonstration :

http://mathsprepa.free.fr/Mathsprepa0607/Cours/Chap/C01.pdf

Remarque :

Il y a égalité lorsque la condition suivante est respectée : 

En effet, avec cette condition, z_1 est aligné avec z_2 et z_1 <= z_2 afin de cumuler les distances sans qu'elles ne se simplifient.

Cependant, notre triangle rectangle est celui-ci :

Donc du coup :

Pour toute la suite des propriétés, on définira toujours :

ATTENTION :

En effet, il est SUPER important que les nombres complexes soient non nuls car l'argument de zéro n'existe pas ! 

En voici la preuve : 

Comme la division par zéro est impossible, alors arg(0) n'existe donc pas !

Ce schéma illustre tout celà :

Si on se visualise bien la situation, on n'a même pas besoin de les apprendre.

L'argument de z.z' est égale à la SOMME des arguments de z ' et z'.

La démonstration est un peu technique, mais bon.

On suppose vrai ces prérequis :

De plus, on introduit :

Le produit de z.z' vaut alors : (mod 2.pi)

Ainsi, on obtient :

L'argument de z^n est égale à "n" fois l'argument de z.

La démonstration se fait très rapidement par récurrence :

http://moodle.utc.fr/file.php/1127/Cours/MT21-ch8.pdf

L'argument de l'inverse de z est égal à l'opposé de l'argument de z.

La démostration est un peu technique mais pas dure :

Mais on sait également que :

Ainsi, on peut former une égalité qui donne lieu à :

L'argument de z par rapport à z' est égal à l'argument de z moins l'argument de z'.

On démontre ce résultat de la même manière que précédemment :

Remarque : 

On retrouve les propriétés semblables à celles du logarithme ! 

Voici une vidéo qui approfondie tout ce que nous venons de voir :

  Maintenant que nous connaissons bien tout cela, nous pouvons enfin passer aux transformations complexes dans le plan en cliquant ICI.