A la découverte des (Hyper)complexes,
des fractales ET de la théorie du Chaos
Sont-ils présents dans notre monde ?
Origine d'apparition
Le problème des N corps de Poincaré
Le phénomène de sensibilité aux conditions initiales a été découvert dès la fin du XIXe siècle par Henri Poincaré dans des travaux concernant le problème à N corps en mécanique céleste, puis par Hadamard avec un modèle mathématique abstrait.
Cette découverte a entraîné un grand nombre de travaux importants, principalement dans le domaine des mathématiques. Ce n'est véritablement que dans les années 1970 que la théorie du chaos s'est progressivement imposée sur le devant de la scène scientifique. Le terme de « chaos » n'a d'ailleurs été introduit qu'en 1975 par les deux mathématiciens Li et Yorke.
La théorie du chaos doit sa popularisation aux progrès fulgurants de l'informatique à partir des années 1960-70.
Cette science nouvelle a en effet rendu accessible aux non-mathématiciens la visualisation directe de l'incroyable complexité de ces systèmes dynamiques, auparavant réservée aux seuls « initiés » capables d'absorber le formalisme mathématique « hermétique ».
L'effet dynamo du champ magnétique terrestre
Définition
L'effet dynamo est une propriété que possède un fluide conducteur de générer un champ magnétique par ses mouvements (par auto-induction) et d’entretenir ce champ contre la dissipation ohmique.
Il s'agit de l'auto-engendrement d'un champ magnétique par un corps conducteur se déplaçant dans un champ magnétique initial plus faible voire nul. L'idée est qu'un courant produisant un champ magnétique soit lui-même produit par le champ magnétique qu'il génère, de la même façon qu'une dynamo produit du courant. On parle parfois de dynamo auto-excitatrice pour ce problème.
L'observation des inversions du champ magnétique terrestre pourrait illustrer l'existence de comportements complexes dans un système simple.
Explication du phénomène géophysique
En pratique, la Terre n'étant pas une dynamo de Faraday, le modèle théorique est un peu plus complexe et se divise en deux ensembles d'équations :
- Les équations de Maxwell décrivant le champ électromagnétique :
Le noyau terrestre est constitué d'un liquide conducteur qui tourne sur lui même et produit un champ magnétique. En effet, d'après la loi de Faraday, des particules en mouvement dans un champ magnétique engendrent un courant électrique. De plus, la loi de Maxwell-Ampère indique que des particules chargées en mouvement engendrent un champ magnétique.
La Terre s'auto-alimente car le champ magnétique induit un courant dans le liquide conducteur qui crée lui même un champ magnétique.
On peut alors résumer ces deux lois par le schéma suivant :
Courant → Champ magnétique → Champ électrique → Courant → ...
On obtient ainsi une boucle infini tant que les charges du noyau terrestre sont en mouvement.
2. Les équations de la dynamique des fluides (Navier-Stokes) décrivant les effets mécaniques:
Expérimentation
Dans la dynamo auto-entretenue, l'énergie provient de la rotation du disque. Le champ magnétique ambiant produit un courant électrique allant du centre vers le bord du disque. Le courant rejoint
ensuite l'axe de rotation par un chemin circulaire fixe. Cette boucle de courant produit un champ magnétique qui s'ajoute au champ initial.
Et voilà, l'effet dynamo est expliqué en grande partie, il ne reste plus qu'à expérimenter ce phénomène.
Le Japonais Rikitaké s'y attaqua dans les années 1950 et il découvrit que son expérience engendrait une série temporelle chaotique.
Il a pris deux dynamos et il les a alimenté l'une avec l'autre. Pour une large gamme de vitesse de rotation, on observe que le courant produit par les dynamos s'inverse de façon chaotique, un peu comme le fait le champ magnétique terrestre :
Deux disques métalliques en rotation, placés dans des champs magnétiques
respectifs B1et B2 sont parcourus par des courants d'intensités I1 et I2, lesquels assurent un couplage entre les disques (figure 6).L'évolution des champs
magnétiques B1 et B2 est identique à celle des variables du modèle de Lorenz et représente assez bien l'inversion
du champ magnétique terrestre, ce qui n'est, pas surprenant, car ce dernier est issu de la convection du fluide conducteur dans le noyau ferrique liquide de la Terre.
Actuellement, le champ magnétique terrestre est simulé numériquement
Actuellement, des simulations informatiques très poussées prennent en compte le plus de paramètres possible pour modéliser l’existence et l’évolution du champ magnétique terrestre. A l’aide de supercalculateurs, Glatzmaier et Roberts ont réussi à simuler l’évolution du champ magnétique terrestre sur plusieurs centaines de milliers d’années et leur modèle arrive à reproduire les inversions de polarités !
L'effet Papillon de Lorenz
La théorie du chaos a été découverte par Edward Lorenz alors qu’il exerçait comme météorologue au MIT (Massachusetts Institute of Technology).
En 1963, il découvre qu’il suffit de trois variables pour provoquer un comportement chaotique, démontrant qu’une dynamique à la fois très complexe et imprévisible pouvait survenir à la suite de l’introduction d’un nombre très limité de données. Selon son raisonnement, la complexité peut être intrinsèque à un système, alors qu’on pensait jusque-là qu’elle résultait d’apports accidentels dus à une multitude de causes.
En 1972, Edward Lorenz expose sa découverte dans une étude, intitulée :
« Prévisibilité : est-ce que le battement des ailes d'un papillon au Brésil peut déclencher une tornade au Texas ? »
Au cours de ses recherches en météorologie, Edward Lorenz a découvert en 1961 un système d’équations au comportement chaotique. On dit qu’un système est chaotique s’il est impossible de prédire son état futur avec certitude, même si son état présent est connu avec une grande précision.
Les équations de Lorenz décrivent d’une façon très simplifiée le mouvement et le transfert de chaleur d’un fluide imaginaire.
http://www.genie-des-maths.polymtl.ca/exemples/ex-00009/ex9.pdf
