A la découverte des (Hyper)complexes,
des fractales ET de la théorie du Chaos
Sont-ils présents dans notre monde ?
Cette fois, nous voulons étudier la dimension de fractales sans autosimilarité et générées aléatoirement.
En voici deux exemples.
Le mouvement brownien
Introduction au mouvement brownien
http://physique.coursgratuits.net/mecanique-statistique/mouvement-brownien.php
Le mouvement brownien est une description mathématique du mouvement aléatoire d'une petite impureté organique ou non immergée dans un fluide et qui n'est soumise à aucune autre interaction que des chocs avec les petites molécules du fluide environnant.
http://eurinsa.insa-lyon.fr/LesCours/physique/AppPhysique/approphys/1historique/Einstein/mvt.html
Au début du 20ème siècle, les européens deviennent fascinés par la botanique notamment à cause des récentes explorations en Nouvelle Hollande (Australie).
Un des premiers botanistes à faire ses marques en Nouvelle Hollande fut Robert Brown. A son retour d'Australie et de Tasmanie, il revînt à Londres chargé de milliers d'espèces et sa réputation ne
fit que grandir.
Mais le travail de Brown ne se borna à cataloguer les différentes espèces observées, il fut en outre connu pour sa première description du noyau des cellules. L’engouement pour la botanique dans
lequel Brown joua une part importante posa les principes essentiels de la théorie de l’évolution de Darwin.
Toutefois, Brown est plus connu parmi les physiciens pour le phénomène du mouvement Brownien. Pendant l’été 1827, il commença par réaliser des observations microscopiques de graines en
suspension provenant de sacs de pollens de primevère.
Brown fut alors surpris : les minuscules graines, qui étaient suspendus sur l’eau, se déplacèrent dans un mouvement constant, effectuant une infatigable et chaotique danse. De plus, comme le montra Brown, ce déplacement n’était pas causé par des influences externes comme la lumière ou la température ; il exclut aussi rapidement sa première idée de graines vivantes. Brown montra alors que cette danse incessante n’était pas biologique mais bien physique.
Il a par la même occasion remarqué que de petites particules minérales se comportaient de la même manière, sans pour autant apporter une quelconque explication à ce phénomène.
Voici les tracers du mouvement brownien obtenus
Des animations pour comprendre ce phénomène
Voici trois très bonnes animations pour comprendre le mouvement brownien.
- Comprendre ce qui se passe à l'échelle microscopique
(cliquez sur le bouton <<montrer les atomes>>).
http://www.geneva-link.ch/jdesiebenthal/physique/simulations/gaz/brownian.html
2. Comprendre l'origine des tracers obtenus
(mettez la gravité à 0 pour avoir la même situation que dans un liquide).
http://chaos.nus.edu.sg/simulations/Classical%20Physics/BrownianMotion/brownian.html
3. Si nous résumons, nous avons ceci :
http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/thermo/brown.html
Les premières explications du mouvement brownien
Les premières explications théoriques du mouvement brownien furent données, indépendamment, par A. Einstein en 1905 et M. Smoluchowski en 1906.
Andrei Nikolaevich Kolmogorov et Paul Lévy améliorent l’approche du mouvement brownien du point de vue du calcul des probabilités, ils définissent mathématiquement le mouvement brownien standard et étudie sa distribution gaussienne.
A cette même époque, Louis Bachelier, mathématicien français, propose d’utiliser le mouvement brownien pour faire des prédictions mathématiques sur la bourse du marché
financier.
Il propose des formules mathématiques pour calculer les probabilités des fluctuations du marché, donc de la variation du cours de l’argent.
Pour aller plus loin avec le mouvement brownien
Les Nanofluides :
http://www.cooling-masters.com/articles-46-5.html
Les équations associées au mouvement brownien :
(je n'ai pas le niveau requis en maths pour comprendre ces formules)
http://marc.joos.free.fr/marc.joos/thermo_M1/Chapitre_5Thermo.pdf
http://perso.univ-rennes1.fr/helene.guerin/enseignement/M2/Brownien1.pdf
L'analyse des différents tracers obtenus :
http://pascale.et.vincent.bourges.pagesperso-orange.fr/fractales%20et%20chaos1/Chapitre%202.htm
Cours sur le mouvement Brownien :
http://marc.joos.free.fr/marc.joos/thermo_M1/Chapitre_5Thermo.pdf
http://images.math.cnrs.fr/Le-mouvement-brownien-et-son.html
Extrait d'un livre :
sa=X&ei=QziyUdilBsmLhQefiYHgDw&ved=0CEcQ6AEwBTgU#v=onepage&q=fractale%20nuage&f=false
NEWS : Mesure de la vitesse du mouvement brownien :
Conférence sur les probabilités et le mouvement Brownien :
Le calcul de la longueur des côtes
Le mathématicien et physicien anglais Lewis Fry Richardson voulait mesurer avec précision les côtes et frontières des différents pays.
Mais comment mesurer une côte ?
Si l'on s'intéresse à celle de la Grande-Bretagne, on peut essayer de mesurer approximativement sa longueur; voici ce qu'on obtient :
Vous voyez que plus on prend de détails en compte, plus la côte est longue.
Mais doit-on prendre en compte chaque rocher, chaque grain de sable... ?
Cela semble infaisable !
Dans la théorie, si on veut vraiment tenir compte de tous les détails, la côte est infinie, comme le flocon de von Koch.
Ce phénomène s'appelle l'effet Richardson.
Une autre méthode serait d'encadrer cette surface avec des surfaces unitaires que l'on diminue au fur et à mesure afin de trouver la dimension de cette Grande-Bretagne :
Cette technique est celle de la dimension de Minkowski.
Finalement, la Grande-Bretagne admet comme périmètre une longueur de 12 789 km.
Voici une liste des pays par longueur de côtes, frontière et périmètre.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_des_pays_par_longueur_de_côtes
Découvrons désormais où se cachent ses fameuses fractales dans notre environnement.
Pour découvrir cela, cliquez ICI.
