A la découverte des (Hyper)complexes,
des fractales ET de la théorie du Chaos
Sont-ils présents dans notre monde ?
Les Fractales sont à la fois présentes dans la Nature et même dans l'Univers !
1. Les fractales dans la Nature
On les retrouve dans la biologie
Les fractales en biologie végétale
Les arbres, des végétaux à nature fractale ?
Quand on analyse un arbre sous différentes échelles, on constate qu'il y a un schéma qui se répète sous ces échelles différentes.
Commençons l'analyse :
Les ramifications des branches
En regardant avec plus d'attention les branches d'un arbre, on peut discerner un schéma qui semble se répéter, même principe que l'autosimilarité pour les fractales.
L'inflorescence
L'inflorescence est la disposition des fleurs sur la tige d’une plante à fleur. Le motif de disposition s'apparente à nouveau à celui d'une fractale.
Les nervures des feuilles
On peut bien observer une structure fractale sur les nervures qui composent vaisseaux conducteurs de sève (xylème et phloème) !
On peut modéliser la feuille comme étant un réseau fractal de nervures synthétiques :
En observant la nature de près, on peut se rendre compte qu'elle est réellement discontinue tout en gardant un ordre dans sa structure, sans pour autant être "chaotique" : certains végétaux semblent donc posséder une structure fractale.
L'autosimilarité
L'autosimilarité est le caractère d'un objet dans laquelle on peut trouver des similarités en l'observant à différentes échelles.
L'exemple le plus frappant pour illustrer l'autosimilarité est le chou romanesco, aussi appelé le "chou des mathématiciens".
Regarder par vous-même, c'est très impressionant :
La feuille de fougère est composée de feuilles plus petites elles-mêmes composées de feuilles plus petites de même forme, et ainsi de suite...
Les fractales en morphologie animale
Les coquilles
Ne prouvez-vous pas que les motifs sur le coquillage Cymbiola Innexa ressemble aux triangles de Sierpinski ?
Ce phénomène serait dû à deux types de molécules interviennent lors de la formation de ce coquillage. Ces motifs servent tout simplement de camouflage pour le coquillage.
Les coraux
Le corail (ANIMAL de la famille des Cnidaires) est à la base une particule initiale à laquelle s'aggrègent des sédiments et minéraux apportés aléatoirement par le courant des mers.
On peut percevoir chez le corail une certaine forme d'autosimilarité.
Les éponges de mer
L'éponge de mer présente en effet des particularités étonnantes qui suggèrent la notion de fractale : une infime partie prélevée sur l'éponge et grossie plusieurs fois est semblable à l'éponge tout entière.
De plus, l'éponge est un animal à la morphologie singulière : divisée en plusieurs portions, elle continue de vivre, et chaque partie reste en vie indépendamment des autres.
Sa dimension est également fractale.
Les fractales en anatomie !
Les vaisseaux sanguins - exemple des poumons
http://geoffreyhistoire.pagesperso-orange.fr/fractales/biologie.html
Les poumons sont basés sur le même schéma : leur objectif est de transmettre le maximum de dioxygène de l'air inspiré vers le sang.
Pour qu'il y ait un maximum d'échanges de dioxygène des poumons aux capillaires, les poumons doivent avoir la plus grande surface d'échanges tout en ayant un volume qui reste raisonnable (on ne
peut en effet pas faire rentrer dans la cage thoraxique un trop grand volume de poumons...).
http://tpe-fractales.legtux.org/partie3.2.php
Cette structure arborescente peut a première vue nous faire penser a un objet fractal, observons un peu mieux. A chaque étape, le nombres de « branches » des poumons est doublé. Après 16 itérations, on a 216 ou environ 65000 bronchioles, soit le nombre d'un poumon humain normal. De plus, a chaque itération, la taille des ramifications diminue, on passe d'une branche principale de 18mm de diamètre a de petites ramifications de 0,5mm de diamètre.
On peut donc dire que le poumon est un objet fractal par itérations.
http://geoffreyhistoire.pagesperso-orange.fr/fractales/biologie.html
La modélisation en 3D sur ordinateur permet aussi d'étudier la structure fractale des poumons de manière indirecte, ce qui permet d'avoir une estimation de cette aire d'echange qui est d'environ... 200m² soit l'équivalent d'un court de tennis !
C'est leur géométrie fractale qui permet une telle surface d'échange.
http://geoffreyhistoire.pagesperso-orange.fr/fractales/biologie.html
Le code génétique est responsable de cette structure fractale, en effet l'ADN (Acide DésoxyriboNucléique) sert à coder presque exclusivement la fabrication de proteines (assemblage dans le cytoplasme d'acides aminés). Ainsi la présence ou non de certaines de ces proteines dans le poumons va servir de signaux pour la forme que doit avoir le poumon.
Cette division par deux à chaque itération a pour conséquence que le nombre de terminaisons double, et après 16 étapes, on obtient donc 2^16, soit 65 536 bronches et bronchioles qui mènent à 65
536 acini (petites cavités a l'interieur des poumons se terminant donc en cul de sac). Les acini représentent donc la derniere itération des poumons.
Ces calculs issus des modélisations fractales ont été vérifiés par la radiographie : le nombre d'acini est de 60000 pour un poumon humain normal, et il y a bien 16 itérations dans les
poumons.
A noter également que plus l'itération grandit, plus les ramifications sont petites : 18 mm pour la trachée contre 0,5 mm pour les bronchioles et les acini.
L'intestin grêle
http://fractales.sectionpc.info/fract_humain.htm
Lorsque l'on observe la structure de l'intestin grêle à des grossissements différents, l’auto-similarité est évidente, on retrouve les villosités à toutes les échelles d’observations, jusqu’aux cellules de l’intestin (les entérocytes). Chez l'Homme, la surface externe de l'intestin grêle est d'environ 0,5 m², sa surface interne est de 300 m² , le gain de surface d’échange est ici évident. dimension fractale de ce système est d’environ 2,7.
Le rythme cardiaque, un signal fractal
http://tpe-fractales-12-13.e-monsite.com/pages/application-de-l-homme.html
Beaucoup de scientifiques étaient réticents et ne croyaient pas à l'aboutissement des recherches. Et disaient qu'elles n'avaient aucun rapports avec la cardiologie. En réalité s'en est bien.
Ary GOLBERGER découvre que le rythme cardiaque de tout sujet sain obéit à un schéma fractal qui lui est propre. Cette spécificité permettra peut être un jour aux cardiologues de déceler certaines pathologies. Car le rythme cardiaque d'un sujet atteint ne sera pas ordonné et n'obéira a aucun schéma fractal.
La loi de Kleiber
Max Kleiber était un agronome suisse.
En 1932, il a découvert que la masse de l'individu élevé à la puissance (3/4) correspond au métabolisme de base (BMR) des animaux d'espèces différentes, c'est-à-dire aux besoins énergétiques indispensables pour survir.
Si on trace la fonction y = x^(0.75), on obtient le tracé suivant :
Voici un graphique qui présente le métabolisme de base (= besoins énergétiques) en fonction de la masse de l'individu :
axes sous échelle logarithmique
Pour vous renseigner sur la loi de Kleiber :
Comment expliquer ce phénomène ?
Si vous avez regardé le reportage sur les Fractales (ICI), vous avez peut-être retenu que l'explication la plus probable est la suivante :
Plus un animal est massique, plus il doit développer un réseau sanguin important.
L'organisme développe ainsi un réseau en Fractal important, d'ou une meilleure utilisation de l'énergie chez les animaux massifs !
Le mouvement brownien, un exemple de fractales naturelles
Ce phénomène a été découvert en 1827 par le botaniste Brown.
Il a découvert au microscope le mouvement incessant, irrégulier et aléatoire de petites particules de pollen en suspension dans l'eau.
Voici les tracers obtenus :
La courbe obtenue ressemble à une Fractale.
Je vous ai déjà présenté le mouvement Brownien ICI.
Les fractales en paléontologie
Les Ammonites/ Les Nautilus
Le Nautilus est disparu en même temps que les dinosaures, c'est-à-dire durant l'ère des Crétaces (-65 millions d'années).
La forme de ce coquillage vérifie bien l'auto similarité des Fractales, c'est-à-dire que quelque soit l'échelle sous laquelle on observe ce coquillage, on retourve les même formes.
Comparer le structure de son coquillage avec les spirales de l'ensemble de Mandelbrot ;
Le coquillage et la spirale de Mandelbrot sont en fait issus de la spirale de Fibonacci, aussi appelé spirale d'or :
Pour découvrir le nombre d'or, vous pouvez aller sur le Site du Zéro; il y a un très bon tutoriel à ce sujet; pour vous y rendre, cliquez ICI.
L'évolution des espèces
Le plastique, réel immitateur de la Nature !
http://www2.cnrs.fr/journal/1709.htm
La bordure des feuilles de certaines plantes comme les lichens, les orchidées ou les laitues arbore des ondulations aussi belles que complexes qui intriguent les scientifiques. Elles sont dites « fractales », c'est-à-dire identiques quelle que soit l'échelle à laquelle on les regarde. Chaque ondulation est constituée d'autres ondulations similaires trois à cinq fois plus petites, et ainsi de suite, parfois jusqu'à la cinquième génération. Ces formes sont-elles le fruit d'un code génétique inventif ou le résultat de contraintes physiques ? Des chercheurs des laboratoires LMM1, LPS2 et PMMH3 ont répondu, de manière originale, à cette épineuse question.
Dans une étude parue dans Europhysics news de septembre 2004, ils ont pu expliquer et simuler numériquement l'apparition de ces mêmes formes lorsque l'on déchire un film plastique type « sac de supermarché ». « L'origine de ces ondulations est la même pour le plastique déchiré et certaines feuilles en croissance, expliquent les chercheurs. Il s'agit d'un excès de longueur à leur périphérie qui doit être compensé ». En effet, les feuilles en question ont la particularité de pousser plus vite sur les bords qu'au centre. De même, quand on déchire le film plastique, on étire de manière irréversible la zone proche des bords ainsi créés. Dans les deux cas de figure, la partie allongée doit se raccorder avec le reste de la surface. C'est pourquoi elle se déforme en adoptant la forme qui lui coûte le moins d'énergie. Les chercheurs ont donc calculé la solution la plus économique pour le film plastique en espérant ainsi retrouver les formes fractales. Comme chacun sait, il est plus facile de courber une feuille que de l'étirer. Cela signifie que la première déformation coûte beaucoup moins d'énergie que la deuxième. La feuille va donc d'abord chercher à se courber de façon à minimiser son élongation. Ceci expliquerait des ondulations simples mais pas nécessairement l'aspect fractal. Or, les chercheurs ont calculé que, pour minimiser la coûteuse énergie d'élongation, la surface déformée doit acquérir, en chacun de ses points, une forme connue des mathématiciens, celle d'une selle de cheval, répliquée à toutes les échelles. C'est précisément ce qui donne le caractère fractal aux ondulations observées sur les plantes et les sacs plastique. Ces recherches, à la croisée de la physique et de la biologie, profitent aux deux disciplines en faisant émerger à la fois de nouveaux problèmes et des méthodes de résolution innovantes. Un avantage bien compris par le ministère de la Recherche qui vient d'attribuer une ACI4 Jeunes Chercheurs aux auteurs de cette étude afin qu'ils puissent continuer leurs investigations dans ce domaine.
Le bord de ce film plastique déchiré présente quatre générations d'ondulations fractales (de n=1 à n=4)
Voici une INCROYABLE vidéo de Universcience.tv qui illustre ce phénomène :
http://www.universcience.tv/video-dechirure-du-plastique-2713.html
Voici ce même reportage en extention .avi :
Réalisation : Henri-Louis Poirier
Production : Cité des sciences et de l'industrie, SFRS
Durée : 1 min 45 s
Année de production : 2001
Date de diffusion : 05/07/2010
Les fractales se retrouvent également en géologie
Les fractales constituent le paysage (côtes, montagnes, rivières, vague...)
Les côtes des pays
Les montagnes
Les nuages
Le nuage, qui se forme par condensation de la vapeur d’eau, présente un contour morcelé et brisé qui possède le même motif lorsque l’on change d’échelle, il a une surface ayant une courbure fractale.
Les vagues et l'écume
Les vagues sont issues de perturbations des molécules d’eau en grande quantité à l’échelle moléculaire, puis se répercute à une plus grande échelle et qui se répercute à une plus grande échelle et ainsi de suite pour former une vague.
La perturbation crée des motifs aléatoires et invariants par changements d’échelle. Les vagues sont en effet des objets fractals.
Cela se remarque le mieux en regardant l’écume des vagues.
Les Flocons de neige
http://tpe-fractales.legtux.org/partie3.1.php
Le flocon de neige a également une formation fractale.
Les molécules d’eau, en se solidifiant du fait de la température, s’agence en formant une figure de symétrie d’ordre 6, du fait que les atomes de la molécules d’eau forment des angles de 30 et de 60 degrés. Le flocon, croissant ainsi, devrait former une figure hexagonale parfaite. Mais non, encore une fois, un paramètre aléatoire intervient, et les cristaux « s’accrochent » entre eux par un principe d’agrégation, et crée les formes de flocons que nous connaissons. Ces flocons sont formés de branchages, eux-mêmes formés d’autres, et ainsi de suite. Le flocon de neige se forme en arborescence fractale.
Les rivières, fleuves et cours d'eau
http://www.blog.francis-leguen.com/de-la-longueur-infinie-des-rivieres/
De fait, lorsque l’on observe d’une vue satellite un fleuve. On voit des rivières qui se jettent dedans, des petites rivières qui se jettent dans ces rivières, des ruisseaux qui se jettent dans ces petites rivières, etc. la formation des fleuves et due a l’écoulement de l’eau, qui se fraye un chemin dans le paysage minéral de manière fractale. Ainsi un fleuve et ses affluents sont un exemple de la fractalité du monde géologique.
De plus, les tracers réalisés par les réseaux hydrographiques ont des formes de fractales.
Les fractales en météorologie
Les avalanches
Les éclairs et la foudre
http://tpe-fractales.legtux.org/partie3.1.php
L’éclair se produit pendant un orage, tout d’abord parce que nous l’avons vu les charges négatives dans les nuages se sont accumulées en suffisante quantité. Mais aussi parce qu’il pleut et que l’eau, et conductrice de l’électricité. En effet, l’éclair va cherche le moyen le plus simple d’accéder au sol, pour rétablir le déséquilibre de charges. Ainsi, l’éclair se fraye un chemin de gouttes d’eau en gouttes d’eau, chaque fois allant vers le bas en passant par la goutte d’eau la plus proche. Lorsque deux gouttes d’eaux sont sensiblement à la même distance, l’éclair se divise. Ainsi, la position des gouttes d’eau étant aléatoire, l’éclair se forme aléatoirement dans l’air en ayant une structure fractale.
Cyclone, ouragan, typhon et tourbillon
http://fractalesland.free.fr/Nouveau%20dossier/autre%20cadre%20(applications%20fractales).htm
Les applications de la géométrie fractale en météorologie doivent aussi être envisagées. En effet, des structures telles des tourbillons et des cellules convectives se passent dans l'atmosphère autant à l'échelle planétaire qu'à l'ordre de 1mm. Donc, par l'analogie de ces petites structures avec les plus grosses, on peut, par le principe des fractales, décrire tous les phénomènes atmosphériques et ce quelle que soit l'échelle considérée.
Qu'est-ce qu'un cyclone, un ouragan ou un typhon ?
http://calamar.univ-ag.fr/uag/physique/lpat/cyclone/cyclone.html
Cependant, si nous comparons ces vortex issus de phénomènes naturels avec les spirales de l'ensemble de Mandelbrot, on observe une certaine analogie; comparez par vous-même :
De la même manière que précédemment, nous retrouvons la spirale d'or; constatez :
Les réseaux hydrographiques
Quand l'eau veut rejoindre l'océan, elle circule via les réseaux hydrographiques.
Regardez les motifs que l'on retrouve en Norvège :
Les fractales en minéralogie
Le cristal
http://tpe-fractales.legtux.org/partie3.1.php
Ensuite, étudions la fractalité d’un cristal. Un cristal se forme par agrégation des molécules entre elles. Certains cristaux sont composé d’atomes dit hydratés, c'est-à-dire que les atomes forment un cube dans lesquels sont emprisonnés des molécules d’eau. Si ce cube était parfait, les cristaux croîtraient tous exactement carrés. Or ces cubes ne sont pas tous parfait, il arrive qu’un défaut ponctuel survienne. Ce défaut si minime soit-il affecte la croissance entière du cristal, et est répercuté quelle que soit l’échelle a laquelle on regarde le cristal. C’est ainsi que les cristaux prennent des formes variées et esthétiques. Dans ces formes, on retrouve le principe fractal d’autosimilarité. (Ci-dessous, un cristal de calcaire)
La géométrie des fractures, des fragmentations et des fissures
Les fissures ou les fractures provoquées par l'eau, la sécheresse ou encore les forces de compression donnent des motifs que nous connaissons bien sur la terre ou les roches.
Observez :
Les dendrites / l'oxyde de Manganèse
http://sites.univ-provence.fr/~ufrsm/filieres/LicPlurid/fractales/fractaleweb.html#IID
Imaginons une molécule d’oxyde de manganèse se « promenant » au hasard sur une surface plane et fluide qu’est la surface de la pierre. Quelques molécules sont fixées dès le départ, de façon
aléatoire aux bords de la pierre. Dès qu’une autre molécule en rencontre une déjà fixée, elle se fixe à son tour à celle-ci et ainsi de suite.
On pourrait modéliser ce processus par des « pièges » qui « attrapent » des objets se déplaçant de façon aléatoire depuis une origine, et qui deviennent pièges à leur tour
une fois attrapés.
2. Les fractales dans l'Univers
L'Univers
http://fractalesland.free.fr/Nouveau%20dossier/autre%20cadre%20(applications%20fractales).htm
Pour aller dans l'infiniment grand, l'Univers lui-même semble avoir une organisation fractale. La matière ainsi observée sur de grandes échelles (plusieurs millions d'années lumière) ne se localise pas n'importe comment dans l'espace mais forme des structures stellaires telles les étoiles, les nuages de gaz, les galaxies, les trous noirs. Toutes ces entités sont rassemblées en amas galactiques de toutes sortes et forme une gigantesque "structure". C'est l'expression d'une loi simple : la masse d'une structure est proportionnelle à une puissance D de sa taille, cette puissance D étant une dimension fractale. A l'inverse, à petite échelle, au cours de leur lente structuration, les cristaux (tel le givre) adoptent finalement une organisation fractale. En fait, dans les processus d'équilibre naissent des géométries souvent apparentées à la géométrie des fractales : là encore, peut être de proches applications concrètes... Vous pouvez voir une photo de notre univers et de givre juste ci-dessous:
http://cosmobranche.free.fr/Science_VisionsFractales.htm
Selon le physicien David Bohm chaque région de l'espace-temps, si petite soit-elle, contiendrait une information sur l'ordre impliqué dans des dimensions beaucoup plus grandes. Aux vues de nos observations, l'Univers semblerait en effet contenir toute une famille, une hiérarchie de formes fractales, comme si ce grand tout unique avait la possibilité de se déployer à l'infini...
Plonger dans le mystérieux objet de Hoag ou encore au creux de ces galaxies nous révèlera par exemple une multitude de nouveaux mondes. Toutes ces structures (tels les planètes, les étoiles, les
galaxies, les amas, les trous noirs...) sont également entraînées dans un mouvement perpétuel et interactif. Cet immense ballet cosmique se compose alors de mouvements de révolution, de rotation,
d'éloignement, et d'approche.
Si l'Univers possède un comportement fractal, au sein de tous ces mondes qui s'emboîtent les uns dans les autres, on peut imaginer que ce qui est vrai pour l'Un, l'est aussi pour tous ses
constituants (Galaxie, Soleil, Terre, Lune...) Ce qui renforcerait l'idée que les lois régissant l'évolution de l'Univers, et ce à toutes échelles, ne sont ni aléatoires ou absurdes. Elles
seraient au contraire le fruit d'un processus d'organisation et d'interactions très précises, comme si finalement tout avait un sens, telle une structure unifiante qui s'étendrait dans
l'infini...
Le Système Solaire
Agrégats d'étoiles
Relativité d'échelle
http://sboisse.free.fr/science/cosmologie/rel_fractale.php
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