A la découverte des (Hyper)complexes,
des fractales ET de la théorie du Chaos
Sont-ils présents dans notre monde ?
Définition
Pour illustrer ce phénomène, on utilise habituellement la formule logistique
Pi+1 = kPi(1 - Pi)
Imaginez qu'il s'agit d'un modèle de croissance grandement simplifié de la population d'une espèce animale.
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Pi+1 représente la population de l'espèce animale pour une année donnée et est exprimé en pourcentage du maximum théorique que cette population peut atteindre dans son environnement. Pi+1 est donc compris entre 0 et 1.
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Pi représente la proportion de l'espèce animale l'année précédente.
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La valeur de k est un facteur de proportionnalité que l'on fait varier.
On peut résumer le phénomène à l'aide d'un diagramme appelé "diagramme de bifurcation". En abscisse, on place les différentes valeurs de k et en ordonnée les valeurs de P après un grand nombre d'années (itérations).
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![[Maple Plot]](http://dev-math.cmaisonneuve.qc.ca/alevesque/chaos_fract/chaos/images/chaos14.gif)
- 0 < k < 3 , le système a tendance à se stabiliser autour d'une seule valeur ;
- 3 < k < 3.45 , le système finit par osciller entre 2 valeurs, on dit qu'il possède un cycle d'ordre 2 ;
- 3.45 < k < 3.57 , la longueur du cycle augmente de plus en plus rapidement ;
- 3.57 < k < 4 , la longueur du cycle s'allonge et devient tellement complexe que l'on peut difficilement suivre son évolution, le système passe par une phase que l'on qualifie de chaotique.
http://mp.cpgedupuydelome.fr/document.php?doc=Article%20-%20Suite%20r%C3%A9currente,%20mod%C3%A8le%20logistique,%20introduction%20au%20chaos.txt
http://www.emba.uvm.edu/~jxyang/teaching/Math266new/notes_6_1.htm
http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_logistique
http://slideplayer.fr/slide/1168058/
http://mathforum.org/mathimages/index.php/Logistic_Bifurcation
