A la découverte des (Hyper)complexes,
des fractales ET de la théorie du Chaos
Sont-ils présents dans notre monde ?
Les racines i-ème
Nous allons aborder un concept tout à fait abstrait, les racines i-ème.
L'utilité d'une racine dans R
Une racine permet de récupérer le nombre de fois que le nombre se multiplie par lui-même.
Par exemple :
Cependant, il existe une autre maière d'écrire une racine; cette technique consiste à prendre la puissance inverse :
Les racines i-ème pour x réel non nul
Passons à la racine i-ème
Cette dernière technique va nous faciliter la tâche pour trouver la racine i-ème d'un nombre.
En effet, soit x un nombre réel non nul (car 0^i n'existe pas...) :
La racine i-ème de x non nul vaut donc l'inverse de x élevé à la puissance i !!! 8)
La racine i-ème de la racine i-ème
Que se passe-t-il si on prend la racine i-ème de la racine i-ème ?
Testons celà pour voir le résultat :
La racine i-ème de la racine i-ème de x non nul vaut donc l'inverse de x !
La racine i-ème de la racine i-ème de la racine i-ème
Que se passe-t-il si on reprend la racine i-ème du résultat précédant ?
La racine i-ème de la racine i-ème de la racine i-ème de x non nul équivaut donc à prendre le nombre x et l'élever à la puissance i.
Finalement terminons par la racine i-ème de la racine i-ème de la racine i-ème de la racine i-ème
Il se passe quelque chose de surprenant avec cette racines (je redis pas le nom).
Regardons :
La racine i-ème ... de la racine i-ème de x non nul équivaut donc à ne rien faire sur x !
Représentation géométrique de f(x)=x
Pour illustrer cet exemple, je prendrai la fonction linéaire f(x)=x.
Regardons à quoi ressemble nos courbes et comparons-les :
Les racines i-ème pour z complexe non nul
Passons à la racine i-ème
Soit z un nombre complexe non nul (car [0+0.i]^i = 0^i n'existe pas...) :
La racine i-ème de z non nul vaut donc l'inverse de z élevé à la puissance i !!! 8)
La racine i-ème de la racine i-ème
Que se passe-t-il si on prend la racine i-ème de la racine i-ème ?
Testons celà pour voir le résultat :
La racine i-ème de la racine i-ème de z non nul vaut donc l'inverse de z !
La racine i-ème de la racine i-ème de la racine i-ème
Que se passe-t-il si on reprend la racine i-ème du résultat précédant ?
La racine i-ème de la racine i-ème de la racine i-ème de z non nul équivaut donc à prendre le nombre puissance i.
Finalement terminons par la racine i-ème de la racine i-ème de la racine i-ème de la racine i-ème
La racine i-ème ... de la racine i-ème de z non nul équivaut donc à ne rien faire sur z.
Remarque :
La racine i-ème de zéro n'existe pas. En effet :
ln(0) n'étant pas défini, alors la racine i-ème de zéro ne l'est pas non plus.
Racine i-ème et puissance i
Voici deux conjectures dont je PENSE que la démonstration est juste :
Démonstration :
Démonstration :
Puissance i et racine i-ème
Voici deux conjectures que je n'ai pas démontré :
A la calculatrice, les calculs semblent bien confirmer ces conjectures, mais elles restent encore à démontrer.
Maintenant, nous allons pouvoir découvrir les puissances complexes !
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