Tout le monde sait bien que ln(x) n'est défini que sur l'intervalle ouvert 0 jusqu'en + l'infini.

Et bien aujourd'hui, nous irons dans l'intervalle ouvert - l'infini jusqu'en 0 exclu.

Vous êtes d'accord sur l'égalité d'Euler très connue :

Donc si on élève avec ln de chaque côté de l'égalité, on obtient :

Mais, il y a un GROS point à faire attention;

vous êtes d'accord que :

Il y a donc un décalage de i.pi entre ]-infini;0[ et ]0;+infini[ si les parties réelles étaient égales !

Cela est normal; en effet :

  Je vous propose d'analyser la courbe de ln(x) (obtenue grâce à WolframAlpha) :

On y voit bien le décalage de i.pi !!!

Il faut donc revoir toutes nos formules sur ln(x) :

Par la suite, on pose "n" l'entier nul nul qui compte de nombre de signe "-" qu'il y a dans le produit du logarithme népérien.

Si n est impair, donc si n = 1+2.k, avec k entier naturel, que l'on note aussi avec les congruences :

Pour un nombre impair de signes "-" pour un nombre "m" de nombres mis en produit, il faut retrancher (m-1) fois i*pi de la somme des ln.

PS : dans mon égalité précédante, j'ai divisé par 2 car j'étais obligé d'avoir un pas de 2 entre chaque a_{n}.

  Dans le cas où n est pair, il faut tout simplement enlever m*i*pi de la somme des ln.

  Epatant, non ? Une jolie formule cherchée de loin, très loin !  (^_^)

A retenir :

  A chaque fois qu'on veut scinder le produit de ln, pour un nombre m il faut compter le nombre de signe négatif qu'il y a dans les produits (m-1). SI les signes négatifs présents sont pair (==> les signes - se transforment en +) , il n'y a qu'à retrancher i*pi*m . Dans le cas où ils sont pairs, il faut retrancher i*pi*m et ajouter i*p, ce qui revient à retrancher (m-1)*i*pi.

PARTICULARITE : avec ln(i^2.x), ne faire aucun ajout car ln(-x) = 2.ln(i)+ln(x)

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Type/aaaCompl/Exponent.htm#log

Démonstration :

Tout nombre complexe z non nul peut s'écrire sous la forme exponentielle :

Si on remet z sous sa forme algébrique, on obtient bien alors :

On peut également l'écrire :

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