A la découverte des (Hyper)complexes,
des fractales ET de la théorie du Chaos
Sont-ils présents dans notre monde ?
Biographie de William Hamilton
Sir William Rowan Hamilton est un mathématicien, physicien et astronome irlandais. Il est né le 4 août 1805 à Dublin. Son père est un avocat d'affaires qui parcourt tout le pays. Ne pouvant
s'occuper de l'éducation de son fils, il le confie à 3 ans à l'oncle de William, James Hamilton, qui est un prêtre anglican très lettré. A l'instar d'un Gauss, Hamilton est un enfant prodige. On
prétend qu'à 3 ans, il sait lire et compter, qu'à 5 ans, il connait le latin, le grec, et récite Homère, et qu'à 13 ans, il parle autant de langues qu'il a d'années.
L'intérêt pour les mathématiques commence avec l'étude des Principia de Newton à 15 ans, et celle de la Mécanique céleste de Laplace à 17 ans. En 1823, Hamilton entre au prestigieux
Trinity College de Dublin. Il s'y révèle un étudiant particulièrement brillant, obtenant pratiquement à chaque examen la note maximale. Une année, cependant, ses résultats sont moins bons.
Hamilton est en effet tombé amoureux de la fille d'amis de son oncle. Comme il doit encore étudier 3 ans, il ne peut lui proposer de l'épouser, et finalement elle se marie avec un autre homme, de
15 ans son ainé. Cela engendre une grande déprime chez Hamilton (jusqu'à des pensées suicidaires). Il commence alors également à écrire quelques poèmes, une passion qui perdurera sa vie durant.
En 1827, alors qu'il n'a que 21 ans et est encore étudiant, Hamilton est élu professeur d'astronomie au Trinity College. Une certaine controverse suit cette nomination. Si Hamilton est déjà un
brillant théoricien, il n'a pas encore fait les preuves de ses capacités pratiques, et d'ailleurs il se révèlera un piètre observateur. Son intérêt alors est plutôt dirigé vers l'optique ou la
dynamique, où il introduit et développe la notion de fonction caractéristique (l'Hamiltonien désigne désormais l'énergie totale d'un système). D'autre part, en ce début des années 1830, Hamilton
est obsédé par l'idée de se marier. Après quelques échecs amoureux, il se résout à épouser Helen Maria Bayly, une femme qu'il décrit lui-même à un ami comme "pas du tout brillante". C'est en
effet une femme totalement désorganisée, de surcroît à la santé fragile.
Durant les années 1832 à 1835, Hamilton se consacre à obtenir une présentation algébrique des nombres complexes. Il les introduit comme couple de réels, et définit sur eux addition et
multiplication, tout en explicitant les liens avec les transformations du plan. Les années suivantes, il tente à tout prix de généraliser sa construction au triplet de nombres réels. Il n'y
parvient pas, mais cela l'obsède, et il subit une nouvelle crise de dépression, devenant alors alcoolique.
Le salut, selon ses propres dires, vient le 16 octobre 1843. Alors qu'il se promène avec son épouse le long du Royal Canal à Dublin, il se rend subitement compte qu'on ne peut pas donner une structure multiplicative aux triplets de nombres réels, mais qu'on peut le faire pour les quadruplets. Tout excité par cette découverte, en traversant le Brougham Bridge, il aurait inscrit sur une des pierres du pont la formule de multiplication i^2 = j^2 = k^2 = i.j.k = (-1). L'adoption des quaternions impose "d'oublier" la commutativité du produit. C'est alors une vraie révolution. D'autre part, Hamilton invente ainsi implicitement le produit scalaire et le produit vectoriel.
Hamilton pense que les quaternions vont révolutionner les mathématiques du XIXè siècle comme le calcul différentiel de Newton et Leibniz avait révolutionné les mathématiques du XVII è. Il
consacre alors toute son énergie à les promouvoir, écrivant notamment deux livres sur le sujet. Néanmoins, les quaternions resteront assez peu utilisés, les physiciens (notamment Gibbs), en
extrayant ce qui était le plus important (le produit vectoriel) pour fonder l'analyse vectorielle.
Hamilton décède le 2 septembre 1865 d'une crise de goutte.
